Title: Terminale / Maths / Chapitre 11 primitives et équations différentielles

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On dit qu'une fonction F est solution de l'équation différentielle y' = f sur I lorsque F est dérivable et F' = f.

Résoudre sur I l'équation différentielle y' = f, c'est trouver toutes les fonctions F dérivables sur I telles que F' = f.

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f (soit une solution de l'équation différentielle y' = f).

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Les primitives de f sur I sont les fonctions définies sur I par F(x) = G(x) + C où C est une constante réelle.

Il existe une unique primitive F de f sur I telle que f(x_0) = y_0.

Q: Primitive de f(x) = a + intervalle
A: a x sur ℝ

Q: Primitive de f(x) = x^n + intervalle
A: F(x) =
x^n+1
n+1
 :
- sur ℝ si n > 0
- sur ]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ si n < 0

Q: Primitive de f(x) =
1
x
+ intervalle
A: F(x) = ln(x) sur ]0 ; +∞[

Q: Primitive de f(x) =
1
√x
+ intervalle
A: F(x) = 2√x sur ]0 ; +∞[

Q: Primitive de f(x) = e^x + intervalle
A: F(x) = e^x sur ℝ

Q: Primitive de f + g
A: F + G

Q: Primitive de k f (pour tout k appartenant à ℝ)
A: k F

Q: Primitive de f = u' × u^n + condition
A: F =
u^n+1
n+1
si n < -1, u(x) ≠ 0

Q: Primitive de f =
u'
u^2
+ condition
A: F = -
1
u
si u(x) ≠ 0

Q: Primitive de f =
u'
u
+ condition
A: F = ln(|u|) si u(x) < 0 ou u(x) > 0

Q: Primitive de f =
u'
2√u
+ condition
A: F = √u si u(x) > 0

Q: Primitive de f = u' e^u
A: F = e^u

Q: Primitive de f = (v' ∘︎ u) × u'
A: F = v ∘︎ u

Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y' = ay sont les fonctions f définies par f(x) = Ce^ax où C est une constante réelle.

Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y' = ay + b sont les fonctions f définies par f(x) = Ce^ax -
b
a
 où C est une constante réelle.

Si g est une solution particulière de l'équation différentielle y' = ay + f, les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y' = ay + f sont les fonctions f définies par f(x) = Ce^ax + g(x) où C est une constante réelle.

y' = 5y
Les solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par f(x) = Ce^5x où C est une constante réelle.

y' = y + 2
Les solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par f(x) = Ce^x - 2 où C est une constante réelle.